小于150且有15个因数的自然数是多少?

题目

小于150且有15个因数的自然数是多少?

答案

将N表示成N=p1^a1*p2^a2*…*pn^an.其中pi（i=1,2,…,n）是互不相等的质数,ai（i=1,2,…,n）是自然数.
约数的个数就是s=（1+a1）*（1+a2）*…*（1+an）.
15=3*5
也就是说所求的数X=a^2*b^4或者x=a^14 但2^14>200故x=a^2*b^4
5^4=625>200故b=2或者3
x=2^2*3^4=324>200 故b=3无解
x=3^2*2^4=144
x=5^2*2^4=400>200
故 有15个因数且小于150的数只有1个 144=2*2*2*2*3*3
另一种解法;考虑有15个因数 这个数必是完全平方数 否则不会有奇数个因数
150以内的完全平方数一共14个 依次检验
所有因数为:1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,36,48,72,144