已知函数f(x)对任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.

题目

已知函数f(x)对任意实数a,b都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.
1）求f(1)与f（0）的值
2）若f(2)=p,f(3)=q（p,q均为常数）,求f(36的值.
3）求证f(1/x)=-f(x).

答案

（1）
令a=b=1
f(1×1)=f(1)+f(1)
f(1)=f(1)+f(1)
所以f(1)=0
令a=b=0
f(0×0)=f(0)+f(0)
f(0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0

（2）
f(36)
=f(2×18)
=f(2)+f(18)
=p+f(2×9)
=p+f(2)+f(9)
=p+p+f(3×3)
=p+p+f(3)+f(3)
=p+p+q+q
=2(p+q)
(3)
让a=x,b=1/x,得0=f(1)=f(x)+f(1/x)
即f(1/x)=-f(x)