求函数f（x）=tan2x+2atanx+5，x∈[π4，π2)的值域（其中a为常数）．

题目

求函数f（x）=tan²x+2atanx+5，x∈[

π

4

，

π

2

)

答案

∵x∈[

π

4

，

π

2

)，∴tanx≥1．令 tanx=t≥1，则函数f（x）=h（t）=t²+2at+5，对称轴为 t=-a，
当a≥-1时，-a≤1，t=1时，函数 h（t）有最小值为6+2a，原函数值域为[6+2a，+∞）．
当a＜-1时，-a＞1，t=-a 时，函数 h（t）有最小值为 5-a²，原函数值域为[5-a²，+∞）．