已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2 (1)求a3,a5; (2)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{
题目
已知数列{an}满足a1=0,a2=2,且对任意m、n∈N*都有a2m-1+a2n-1=2am+n-1+2(m-n)2
(1)求a3,a5;
(2)设bn=a2n+1-a2n-1(n∈N*),证明:{bn}是等差数列;
(3)设cn=(an+1-an)qn-1(q≠0,n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.
答案
(1)由题意,令m=2,n=1,可得a
3=2a
2-a
1+2=6
再令m=3,n=1,可得a
5=2a
3-a
1+8=20
(2)当n∈N
*时,由已知(以n+2代替m)可得
a
2n+3+a
2n-1=2a
2n+1+8
于是[a
2(n+1)+1-a
2(n+1)-1]-(a
2n+1-a
2n-1)=8
即b
n+1-b
n=8
所以{b
n}是公差为8的等差数列
(3)由(1)(2)解答可知{b
n}是首项为b
1=a
3-a
1=6,公差为8的等差数列
则b
n=8n-2,即a
2n+1-a
2n-1=8n-2
另由已知(令m=1)可得
a
n=
-(n-1)
2.
那么a
n+1-a
n=
-2n+1=
-2n+1=2n
于是c
n=2nq
n-1.
当q=1时,S
n=2+4+6++2n=n(n+1)
当q≠1时,S
n=2•q
0+4•q
1+6•q
2+…+2n•q
n-1.
两边同乘以q,可得
qS
n=2•q
1+4•q
2+6•q
3+…+2n•q
n.
上述两式相减得
(1-q)S
n=2(1+q+q
2+…+q
n-1)-2nq
n=2•
-2nq
n=2•
所以S
n=2•
综上所述,S
n=
.
(1)欲求a3,a5只需令m=2,n=1赋值即可.
(2)以n+2代替m,然后利用配凑得到bn+1-bn,和等差数列的定义即可证明.
(3)由(1)(2)两问的结果可以求得cn,利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn.
数列递推式;数列的求和.
本小题是中档题,主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想,以及推理论证、分析与解决问题的能力.同时考查了等差,等比数列的定义,通项公式,和数列求和的方法.
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