a^+b^=1,x^+y^=1 求ax+by的最小值

题目

a^+b^=1,x^+y^=1 求ax+by的最小值

答案

^代表平方的话:
x^2 + y^2 = 1 可以看成是直角平面坐标系上,以坐标原点为圆心,半径为1的圆.
所以,满足x^2 + y^2 = 1的(x,y)便是上述圆周上任意一点.
所以,设tanα=y/x,则x=cosα,y=sinα (-π<α≤π)
同理,设tanβ=b/a,则a=cosβ,b=sinβ (-π<β≤π)
所以,ax+by = cosαcosβ + sinαsinβ = cos(α+β) (-2π<α+β≤2π)
所以,当α+β= -π或π时,min(ax+by) = min[cos(α+β)] = -1.