已知数列{an}中，an＞0且an2-2anSn+1=0，其中Sn为数列{an}的前n项和． （1）求证：{Sn2}是等差数列； （2）求证：an＞an+1（n∈N*）．
题目
已知数列{an}中，an＞0且an2-2anSn+1=0，其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）求证：{Sn2}是等差数列；
（2）求证：an＞an+1（n∈N*）．
答案
证明：（1）∵an2-2anSn+1=0，an=Sn-Sn-1（n≥2）∴（Sn-Sn-1）2-2（Sn-Sn-1）Sn+1=0⇒Sn2-Sn-12=1故{Sn2}成等差数列．（2）∵a12-2a12+1=0，a1＞0∴a1=S1=1∴Sn2=1+（n-1）=n故Sn＝n∴an＝Sn−Sn−1＝n−n−1=1n+n...
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
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