如图 AD是△ABC的角平分线 DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 求证AD垂直平分EF..

题目

如图 AD是△ABC的角平分线 DE,DF分别是△ABD和△ACD的高 求证AD垂直平分EF..
2010初二上学期数学书第65页11题..

答案

连接EF与AB相交于O点
由题意可知,AD是三角形ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD
又因为DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,
AD=AD
由角边角可知△ADE和△AFD全等,
∴ DE=DF,AE=AF,∠EDO=∠FDO
因为OD=OD
所以△DEO和△FDO全等
∴EO=FO
又因为△AEF是等腰三角形,EO=FO
所以△AEO和△AFO是全等三角形
所以O点是中点
∴AO⊥EF
所以得证AD垂直平分EF