已知以下三个方程有公共根：ax²+bx+c=0,bx²+cx+a=0,cx²+ax+b=0.

题目

已知以下三个方程有公共根：ax²+bx+c=0,bx²+cx+a=0,cx²+ax+b=0.
(1)求证：a+b+c=0;(2）求这三个方程的根；（3）求式子（a³+b³+c³)/abc的值要详细过程

答案

将三个方程相加,整理得
(a+b+c)x²+(a+b+c)x+(a+b+c)=0
(a+b+c)(x²+x+1)=0
由于x²+x+1=(x+1/2)²+3/4>0,所以只能是
a+b+c=0
所以
(a³+b³+c³)/abc
=[(a³+b³+c³-3abc)+3abc]/abc
=(a³+b³+c³-3abc)/abc+3
=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)/abc+3
=0+3
=3
关于：
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)