已知f(x)=4^x/(4^x-2),求f（1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+……+f(1000/1001)

题目

已知f(x)=4^x/(4^x-2),求f（1/1001)+f(2/1001)+f(3/1001)+……+f(1000/1001)

答案

先来证明对定义域内的任意x,有 f(x)+f(1-x)=1.
容易看出 f(1-x)=4^(1-x)/[4^(1-x)-2],所以
f(x)+f(1-x)
=4^x/(4^x-2)+4^(1-x)/[4^(1-x)-2] (通分)
=[4^x*(4^(1-x)-2)+4^(1-x)*(4^x-2)]/[(4^x-2)*(4^(1-x)-2)]
=[8-2(4^x+4^(1-x))]/[8-2(4^x+4^(1-x))]
=1
即 f(x)+f(1-x)=1.所以
f(1/1001)+f(2/1001)+...+f(999/1001)+f(1000/1001)
=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+...
=1+1+...
=500
即原式 = 500.