如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于点B、C,已知A点坐标为(0,3)
题目
如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于点B、C,已知A点坐标为(0,3)
2010山东济宁最后一大题,谁解释下最后点P到AC的距离怎么算.
答案
(1)设抛物线为y=a(x-4)^2-1,
∵抛物线经过点A(0,3),
∴3=a(0-4)^2-1,a=1/4;
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3
(2)相交.
证明:连接CE,则CE⊥BD,
当1/4(x-4)^2=0时,x1=2,x2=6.
A(0,3),B(2,0),C(6,0),
对称轴x=4,
∴OB=2,AB=√(2^2+3^2)= √13
BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BCE,
∴AB/BC=OB/CE ,即√13/4=2/CE ,解得CE= 8√13/13,
∵ 8√13/13>2,
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交
(3)如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q;
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为(m,1/4m^2-2m+3)
则Q点的坐标为(m,-1/2m+3)
∴PQ=-1/2m+3-(1/4m^2-2m+3)=-1/4m^2+3/2m.
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×(-1/4m^2+3/2m)×6
=-3/4(m-3)^2+27/4;
∴当m=3时,△PAC的面积最大为27/4;
此时,P点的坐标为(3,-3/4)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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