如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于点B、C,已知A点坐标为（0,3）

题目

如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于点B、C,已知A点坐标为（0,3）
2010山东济宁最后一大题,谁解释下最后点P到AC的距离怎么算.

答案

（1）设抛物线为y=a（x-4）^2-1,
∵抛物线经过点A（0,3）,
∴3=a（0-4）^2-1,a=1/4；
∴抛物线为 y=1/4(x-4)^2-1=1/4x^2-2x+3
（2）相交．
证明：连接CE,则CE⊥BD,
当1/4(x-4)^2=0时,x1=2,x2=6．
A（0,3）,B（2,0）,C（6,0）,
对称轴x=4,
∴OB=2,AB=√(2^2+3^2)= √13
BC=4,
∵AB⊥BD,
∴∠OAB+∠OBA=90°,∠OBA+∠EBC=90°,
∴△AOB∽△BCE,
∴AB/BC=OB/CE ,即√13/4=2/CE ,解得CE= 8√13/13,
∵ 8√13/13＞2,
∴抛物线的对称轴l与⊙C相交
（3）如图,过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；
可求出AC的解析式为y=1/2x+3
设P点的坐标为（m,1/4m^2-2m+3）
则Q点的坐标为（m,-1/2m+3）
∴PQ=-1/2m+3-（1/4m^2-2m+3）=-1/4m^2+3/2m．
∵S△PAC=S△PAQ+S△PCQ=1/2×（-1/4m^2+3/2m）×6
=-3/4（m-3）^2+27/4；
∴当m=3时,△PAC的面积最大为27/4；
此时,P点的坐标为（3,-3/4）