A为BCD所在平面外一点,M、N、分别为 ABC、ACD的重心,求证MN//平面BCD

题目

A为BCD所在平面外一点,M、N、分别为 ABC、ACD的重心,求证MN//平面BCD
A为BCD所在平面外一点,M、N、分别为△ABC△ACD的重心,求证MN//平面BCD
要详细思路和过程好了给加分

答案

解法一：取BD,CD,AD,连结AE,BG,AF,CG,（三角形ABD重心为M）所以AE,BG交于M,同理CG,AF交于N,取D,G中点H,连结EH,FH,EF
因为E,H分别为BD,GD中点
所以EH//BG
所以AM/ME=AG/GH
同理AN/NF=AG/GH
所以AM/ME=AN/NF
所以MN//EF
因为EF在面BCD内
所以MN//面BCD
解法二：取BD,CD,AD中点分别为E,F,G,连结AE,AF,BG,CG,所以AE,BG交于M,（三角形ABD重心为M）同理：AF,CG交于N,取DE,DF中点为分别P,Q,连结GP,GQ,PQ,MN
因为G,P分别为AD,ED中点
所以GP//AE
因为P是DE中点,E是BD中点,
所以EP=1/2DE=1/2BE
即BE=2EP
所以BM/MG=BE/EP=2:1
同理CN/GN=CF/FQ=2:1
所以BM/MG=CN/NG=2:1
所以MN//BC
因为BC在面BCD内
所以MN//面BCD
本人认为解法一是最简方法,别外解法二是一般方法,与解法二相同思路方法很多,我就不多写了,主要都是在证明重心分中线为2:1,楼主得给我多加分哦!