由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为_.

由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为_.

题目
由曲线y=x2与直线y=x+2围成的封闭图形的面积为______.
答案
作出两条曲线对应的封闭区域如图:
y=x2
y=x+2
得x2=x+2,即x2-x-2=0,
解得x=-1或x=2,
则根据积分的几何意义可知所求的几何面积S=
2
−1
(x+2−x2)dx
=(
1
3
x3+
1
2
x2+2x)|
 
2
−1
=
9
2

故答案为:
9
2
联立方程组求出积分的上限和下限,结合积分的几何意义即可得到结论.

定积分在求面积中的应用.

本题主要考查积分的应用,作出对应的图象,求出积分上限和下限,是解决本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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