设函数f(x)=ka的x次方-a的-x次方（a＞0,且a≠1）是定义域为R的奇函数； （1）若f(1)＞0,

题目

设函数f(x)=ka的x次方-a的-x次方（a＞0,且a≠1）是定义域为R的奇函数； （1）若f(1)＞0,
设函数f(x)=ka的x次方-a的-x次方（a＞0,且a≠1）是定义域为R的奇函数；
（1）若f(1)＞0,试求不等式f(x²+2x)+f(x-4)＞0的解集；
（2）若f(1)=3/2,且g(x)=a的2x次方+a的-2x次方-4f(x),求g(x)在[1,+∞）上的最小值.
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答案

f(x)=ka^x-a^(-x)
f(-x)=ka^(-x)-a^x
因为f(x)为R上奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(-x)+f(x)=0,所以
0=f(-x)+f(x)=[ka^(-x)-a^x]+[ka^x-a^(-x)]=(k-1)a^x+(k-1)a^(-x)=(k-1)[a^x+a^(-x)],
所以k=1,即f(x)=a^x-a^(-x)
任取x1、x2∈R,且x10,即(x+4)(x-1)>0,
所以x1,即不等式的解集为(-∞,-4)∪(1,+∞).
(2)
f(1)=3/2,即a-1/a=3/2,2a^2-3a-2=0,
(2a+1)(a-2)=0,
因为a>0,所以a=2,所以f(x)=2^x-2^(-x),是R上增函数,且值域为R.
g(x)=a^(2x)+a^(-2x)-4f(x)
=2^(2x)+2^(-2x)-4[2^x-2^(-x)]
=[2^x-2^(-x)]^2+2-4[2^x-2^(-x)]
={[2^x-2^(-x)]-2}^2-2,
因为f(x)=2^x-2^(-x),是R上增函数,f(1)=3/2,
即当x∈[1,+∞)时,f(x)∈[3/2,+∞)
所以当f(x)=2时,g(x)有最小值-2.
【这时2^x-2^(-x)=2,(2^x)^2-2(2^x)-1=0,(2^x)^2-2(2^x)+1=2,因为x∈[1,+∞),所以2^x-1>0,
所以2^x=1+√2,x=log(2)(1+√2).】