已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N. (Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋
题目
已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.
(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时,如图1,求证:MN
2=AM
2+BN
2;
(思路点拨:考虑MN
2=AM
2+BN
2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决.可将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了.请你完成证明过程.)
(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图2的位置时,关系式MN
2=AM
2+BN
2是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
答案
(Ⅰ)证明:∵将△ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,
∴△DCM≌△ACM(1分)
∴CD=CA,DM=AM,∠DCM=∠ACM,∠CDM=∠A
又∵CA=CB,
∴CD=CB(2分),
∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM
∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM
=90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM
∴∠DCN=∠BCN (3分)
又∵CN=CN,
∴△CDN≌△CBN.(4分)
∴DN=BN,∠CDN=∠B.
∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°.(5分)
∴在Rt△MDN中,由勾股定理
∴MN
2=DM
2+DN
2,即MN
2=AM
2+BN
2.(6分)
(Ⅱ)关系式MN
2=AM
2+BN
2仍然成立.(7分)
证明:∵将△ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,
∴△GCM≌△ACM.(8分)
∴CG=CA,GM=AM,∠GCM=∠ACM,∠CGM=∠CAM,
又∵CA=CB,得CG=CB.
∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45°
∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-(∠ECF-∠ACM)=45°+∠ACM
得∠GCN=∠BCN. (8分)
又∵CN=CN,
∴△CGN≌△CBN.
∴GN=BN,∠CGN=∠B=45°,∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°,
∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°,
∴在Rt△MGN中,由勾股定理,
∴MN
2=GM
2+GN
2,即MN
2=AM
2+BN
2.(9分)
举一反三
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