已知椭圆x²/2+y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M、N两点,求弦MN中点的轨迹

题目

已知椭圆x²/2+y²=1,过点A(2,1)的直线与椭圆交于M、N两点,求弦MN中点的轨迹

答案

设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点P(x,y)
则x²1/2+y²1=1,x²2/2+y²2=1
相减：
（x²1-x²2)/2+(y²1-y²2)=0
∴(x1+x2)(x1-x2)=-2(y1+y2)(y1-y2)
(x1+x2)=-2(y1+y2)*(y1-y2)/(x1-x2)
根据中点坐标公式：
x1+x2=2x,y1+y2=2y
∴2x=-4y(y1-y2)/(x1-x2)
∵A,M,N,P四点共线
∴kMN=kPA
∴(y1-y2)/(x1-x2)=(y-1)/(x-2)
∴x=-2y*(y-1)/(x-2)
∴x²-2x=-2y²+2y
∴弦MN中点的轨迹方程为
∴(x-1)²+2(y-1/2)²=3/2
轨迹为以(1.1/2)为中心的椭圆
在椭圆x²/2+y²=1内部的一段弧