已知椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项,则椭圆的离心率为?

题目

已知椭圆的焦距是长轴长与短轴长的等比中项,则椭圆的离心率为?

答案

因为(2c)^2=2a*2b
所以c^2=ab
所以b=c^2/a
因为a^2=b^2+c^2
所以a^2=(c^2/a)^2+c^2
故(c/a)^4+(c/a)^2-1=0
所以(c/a)^2=(-1±√(1+4))/2=(√5-1)/2(负值舍去)
所以e=c/a=√[(√5-1)/2]