已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 若A1在底面ABC内的摄为影△ABC的中心 则

题目

已知三棱柱ABC A1B1C1的侧棱与底面边长都相等 若A1在底面ABC内的摄为影△ABC的中心 则
AB1与底面ABC所成角的正弦值

答案

设三棱柱的侧棱、底边长为1,A1的射影O而O为△ABC中心,
   则OA=OB=OC=2/3*√3/2=√3/3,且A1A=A1B=A1C=1,
   在Rt△A1OA中可求得A1O=√6/3,设AB1与A1B的交点为M,则MB=1/2,AM=√3/2
   作点M在平面ABC上的射影N,则N是A1B的射影OB的中点,BN=1/2*√3/3=√3/6,
   在Rt△MNB中可求得MN=√6/6,
   ∵∠MAN是直线AB1与平面ABC的平角,
   ∴Rt△MNA中,sinMAN=MN/AM=(√6/6)/(√3/2)=√2/3