若任意满足x−y≤0x+y−5≥0y−3≤0的实数x，y，不等式a（x2+y2）≤（x+y）2恒成立，则实数a的最大值是 _

题目

若任意满足

x−y≤0 x+y−5≥0 y−3≤0

的实数x，y，不等式a（x²+y²）≤（x+y）²恒成立，则实数a的最大值是 ______

答案

由题意知：可行域如图，又∵a（x2+y2）≤（x+y）2在可行域内恒成立．且a≤(x+y)2x2+y2＝1+2xyx2+y2＝1+2yx1+(yx)2＝1+2yx+1yx，故只求Z＝yx+1yx的最大值即可．由图象可知：1≤yx≤3−02−0，即1≤yx≤32，∴当yx＝32...

此题考查的是线性规划以及恒成立问题．在分析时，可以先有线性约束条件画出可行域，然后由恒成立的条件可转化为求

y

x

的目标函数求最值即可，进而利用可行域即可获得答案．

本题考点：简单线性规划的应用．

考点点评：本题属于对线性规划、基本不等式、还有函数知识考查的综合类题目．在解答过程当中，同学们应该仔细体会数形结合的思想、函数思想、转化思想还有恒成立思想在题目中的体现．故本题值得思考总结．