已知f(x)在区间（a,b）内存在二阶导数,a

题目

已知f(x)在区间（a,b）内存在二阶导数,a
至少存在一点e,使得f``(e)=0

答案

证明：用罗尔定理.依题意显然有f(x),在[x1,x2],[x2,x3]上连续,在(x1,x2),(x2,x3)上可导,且有f(x1)=f(x2),f(x2)=f(x3),于是由罗尔定理得至少存在一点c1属于(x1,x2),至少存在一点c2属于(x2,x3)使得f'(c1)=0,f'(c2)=0,又f(x)二阶可导,易知f'(x)在[c1,c2]上连续,在(c1,c2)上可导,再由罗尔定理得至少存在一点e属于(c1,c2)使得f"(e)=0.命题得证.