关于直线和圆的方程的一个题目(高中)

题目

关于直线和圆的方程的一个题目(高中)
已知圆的方程为x^2+y^2+ax-2y+a^2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A（1,2）作圆的切线有两条,求a的取值范围.
我按照下面的一二楼做法去做，答案不是取全体实数

答案

x²+y²+ax-2y+a²=0
(x²+ax+a²/4)+(y²-2y+1)=1-3a²/4
(x+a/2)²+(y-1)²=1-3a²/4
因为圆的半径大于0
所以1-3a²/4>0,a²0
(a+1/2)²+(3/4)>0,该式恒成立
所以过点A若可以作圆的两条切线,则a的取值范围是：-2(根号3)/3