设n阶方阵A的行列式等于0,且有某个代数余子式A(ij)不等于0,证明:方程组AX=0的一般解为

题目

设n阶方阵A的行列式等于0,且有某个代数余子式A(ij)不等于0,证明:方程组AX=0的一般解为
k（A（i1）,A（i2）,…,A（in））的转置

答案

证明: 因为 |A|=0所以 AA*=|A|E=0所以 A* 的列向量都是 AX=0 的解.又因为 |A|=0 所以 r(A)=1,所以 r(A)>=n-1所以 r(A)=n-1.所以 AX=0 的基础解系含 n-r(A) = 1 个解向量.所以, A*的非零列向量 (Ai1,Ai2,...,Ain)^T ...