已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.(1)求证:以AB为直径的圆过坐标系的原点O;(2)当△OAB的面积等于10时,求k的值.
题目
已知抛物线y
2=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.
(1)求证:以AB为直径的圆过坐标系的原点O;
(2)当△OAB的面积等于
时,求k的值.
答案
(1)证明:由题意可得方程组
,
消去x可得ky
2+y-k=0,
设A(x
1,y
1)B(x
2,y
2)由韦达定理可得y
1•y
2=-1,
∵A、B在抛物线y
2=-x上,
∴y
12=-x
1,y
22=-x
2,y
12y
22=x
1x
2,
∵k
OA•k
OB=
=
=-1;
∴OA⊥OB,
故以AB为直径的圆过坐标系的原点O.
(2) 设直线与x轴交于N,又k≠0,
∴令y=0,则x=-1,即N(-1,0),
∵S
△OAB=S
△OAN+S
△ONB
=
•|ON|•|y1|+•|ON|•|y2|=
|ON|•|y1-y2|,
∴S
△OAB=
×1×=
•=
,
解得k=
±.
(1)利用直线与抛物线联立方程组,通过韦达定理,推出AN两点纵横坐标的关系,求出OA与OB的斜率乘积等于-1,即可得到以AB为直径的圆过坐标系的原点O;
(2)设直线与x轴交于N,求出N(-1,0),利用S
△OAB=S
△OAN+S
△ONB,通过△OAB的面积等于
,即可求k的值.
直线与圆锥曲线的关系;圆的标准方程;抛物线的简单性质.
本题考查直线与抛物线的关系,韦达定理的应用,三角形面积的转化,考查计算能力,转化思想的应用.
举一反三
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