数学设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)d

题目

数学设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)d
设定积分0到x的定积分等式是tf(2x-t)dt=1/2arctanx2,其中f(x)是连续函数且f(1)=1,求1到2的定积分f(x)dx

答案

变换u＝2x-t,整理得
2x∫(x～2x)f(u)du－∫(x～2x)uf(u)du＝1/2arctan(x^2)
求导得
2∫(x～2x)f(u)du－xf(x)＝x/(1+x^4)
令x＝1,得
∫(1～2)f(u)du＝3/4
－－－－－－－－
其中,∫(x～2x)f(u)du的导数是2f(2x)－f(x),∫(x～2x)uf(u)du的导数是4xf(2x)－xf(x)