求函数的幂级数展开式

题目

求函数的幂级数展开式

答案

先求导数,导数之后就能用等比级数展开,在用逐项积分求出原函数的级数.
arctan[(4+x^2)/(4-x^2)] '
=1/{1+[(4+x^2)/(4-x^2)]^2} * [(4+x^2)/(4-x^2)] '
最后化简得到
=16x / (2x^4+32)
(请帮忙检查一下有没有算对,我只写思路,不敢保证运算)
上下同时除以32
=(x/2) / [1+(x^4)/16]
这是一个首项是x/2,公比是-(x^4)/16的等比级数,所以
=(x/2) * {1 - (x^4)/16 + [(x^4)/16]^2 - [(x^4)/16]^3 +...}
= x/2 - (x/2)^5 + (x/2)^9 - (x/2)^13 + ...
=∑(n=0,∞) [(-1)^n] * [(x/2)^(1+4n)]
在对这个式子积分
原式的级数展开式就是：
=∑(n=0,∞) [(-1)^n] * [1/(1+2n)] * [(x/2)^(2+4n)]