设直角三角形斜边为c,两直角边为a,b,求证a+b

题目

设直角三角形斜边为c,两直角边为a,b,求证a+b<=根号2.c

答案

我来试试：因为（a+b）^2=a^2+b^2+2ab
又三角形为直角三角形所以a^2+b^2=c^2
所以（a+b）^2=c^2+2ab
又因为根据均值不等式可得2ab<=c^2
所以（a+b）^2<=2c^2
即a+b<=根号2.c