求曲线y=lnx,直线x=1,x=e与x轴所围成平面图形的面积极其分别绕x轴,y轴旋转一周所生成旋转体的体积.

题目

求曲线y=lnx,直线x=1,x=e与x轴所围成平面图形的面积极其分别绕x轴,y轴旋转一周所生成旋转体的体积.
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答案

1) ∫lnxdx=[xlnx-x]|=1.
2) 绕x轴
V1=∫πy²dx
=π∫ln²xdx
=π[xln²x]|-π∫2lnxdx
=π(e-2).
3) 绕y轴
V2=∫πx²dy
=∫πe^2ydy
=π/2e^2y|
=π/2(e²-1).