抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,试求动点R的轨迹方程,并说明曲线的类型.
题目
抛物线x2=4y的焦点为F,过点(0,-1)作直线L交抛物线A、B两点,再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB,试求动点R的轨迹方程,并说明曲线的类型.
答案
设直线:AB:y=kx-1,A(x1,y1),B(x2,y2),R(x,y),由题意F(0,1).
由 y=kx-1,x2=4y,
可得x2=4kx-4.
∴x1+x2=4k.
∵AB和RF是平行四边形的对角线,
∴x1+x2=x,y1+y2=y+1.
y1+y2=k(x1+x2)-2=4k2-2,
∴x=4k y=4k2-3,消去k,可得得x2=4(y+3).
又∵直线和抛物线交于不同两点,
∴△=16k2-16>0,
|k|>1
∴|x|>4
所以x2=4(y+3),(|x|>4)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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