(2000•河南)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求证:BD=CG.
题目
(2000•河南)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,D是斜边AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H,交AE于G,求证:BD=CG.
答案
证明:∵△ABC是等腰直角三角形,CH⊥AB,
∴AC=BC,∠ACH=∠CBA=45°.
∵CH⊥AB,AE⊥CF,
∴∠EDH+∠HGE=180°.
∵∠AGC=∠HGE,∠HDE+∠CDB=180°,
∴∠AGC=∠CDB.
在△AGC和△CDB中,
,
∴△AGC≌△CDB(AAS).
∴BD=CG.
由等腰直角三角形的性质知,AC=BC,∠ACH=∠CBA=45°,故由AAS得△AGC≌△CDB⇒CG=CG.
全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形.
本题利用了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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