在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为(0,根号3),点D的坐标为(1,根号3),
题目
在平面直角坐标系中,O是坐标原点,直角梯形AOCD的顶点A的坐标为(0,根号3),点D的坐标为(1,根号3),
点C在x轴的正半轴上,过点O且以点D为顶点的抛物线经过点C.点P为线段CD上一动点(不与C,D点重合),直线OP将提醒AOCD的面积分成2:1两部分.
(1)求抛物线的解析式
(2)求点P的坐标
(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点Q,使以点Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切,若存在,请求出满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)点M为线段OP上一动点(不与O点重合),过点O,M,D的圆与y轴的正半轴交于点N.M在运动的过程中,OM+ON的值是否不变?若不变,请求出这个值;若变化,请直接写出变化范围.
主要是(4),
(4)点M为线段OP上一动点(不与O点重合),过点O,M,D的圆与y轴的正半轴交于点N.M在运动的过程中,OM+ON的值是否不变?若不变,请求出这个值;若变化,请直接写出变化范围.
答案
(1)依题意,设抛物线的解析式为y=a(x-1)^2+根号3,把O(0,0)代入解得a=-根号3,所以抛物线的解析式为y=(-根号3)(x-1)^2+根号3;
(2)C点的坐标为(2,0),CD的解析式可求得为y=(-根号3)x+2根号3,依题意可求得点P的纵坐标为(根号3)/2,代入CD的解析式,求得 x=3/2,即P点的坐标为[3/2,(根号3)/2];
(3)设在y轴右侧的抛物线上存在点Q,使以点Q为圆心的圆同时与y轴、直线OP相切,Q点的坐标为(m,n),过Q点作Y轴垂线交Y轴于E点,作OP垂线交OP于F点,则QE=QF=m,直线OP的方程求得为(根号3)x-3y=0,所以QF=I(根号3)m-3n=2(根号3)m,整理得I7-3mI=2,解得m=5/3,
n=(5根号3)/9或m=3,n=-3根号3,即Q点的坐标为(5/3,(5根号3)/9)或(3,-3根号3);
(4)OP 的解析式求得为 y=x/根号3,设点M的坐标为(m,m/√3),过点O,M,D的圆的方程为:
x²+y²+Dx+Ey=0,把点D,M的坐标代入,得
D+√3E+4=0,3mD+√3mE+4m²=0,解得D=2-2m,E=(2m-6)/√3.
⊙Q的方程为x²+y²+(2-2m)x+=(2m-6)y/√3=0,令x=0,得
y=(6-2m)/√3,∴ 点N的坐标为(0,(6-2m)/√3).
OM²=m²+(m²/3)=4m²/3,∴ OM=2m/√3,ON=(6-2m)/√3,
∴ OM+ON=(2m/√3)+(6-2m)/√3=2√3(定值)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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