已知函数f(x)=x2+a/x(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是_.
题目
已知函数
f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R),若函数f(x)在x∈[2,+∞)上是增函数,则a的取值范围是______.
答案
由题设,f'(x)=2x-
又函数f(x)在x∈[2,+∞)上是增函数
∴f'(x)=2x-
≥0在[2,+∞)上恒成立,
即a≤2x
3在[2,+∞)上恒成立,
因为2x
3≥16,故a≤16
故应填a≤16
求出函数的导数,利用其在[2,+∞)上是增函数,建立不等式,求出参数a的取值范围.
函数单调性的性质.
考查求导公式,以及函数在某个区间上是增函数转化为其导数在该区间上大于等于0恒成立这一结论.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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