已知函数f(x)=1/2ax^2-2x+2+lnx,在(1,正无穷)上只有一个极值点,求实数a的取值范围（用分离参数来做）

题目

已知函数f(x)=1/2ax^2-2x+2+lnx,在(1,正无穷)上只有一个极值点,求实数a的取值范围（用分离参数来做）

答案

f'(x)=ax-2+1/x=(ax²-2x+1)/x,因此在(1,+∞)中只有一个极点,因此f'(x)=0在(1,+∞)中有一个单根或者两个相同的实根.不过事实上只有当a=1时f'(x)=0才有两个相同实根,且其为1,不满足题目条件,因此f'(x)=0在(1,+∞)中有一个单根.若a=0,f'(x)=0有一根x=1/2不满足条件；若a≠0,则在4-4a≥0时f'(x)=0才有实根,因此a(1-2a)²,4a²