过平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别作AA1⊥L、BB1⊥L、CC1⊥L、DD1⊥L,垂足分别为A1、B1、C1、D1.

题目

过平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D分别作AA1⊥L、BB1⊥L、CC1⊥L、DD1⊥L,垂足分别为A1、B1、C1、D1.
证明：AA1+CC1=BB1+DD1

答案

证明:连接AC和BD,交于O,作OO'垂直L于O'.则AO=OC,OB=OD.
又AA1⊥L,CC1⊥L,则AA1∥OO'∥CC1,得AO'/O'C1=AO/OC=1,A1O'=O'C1.
即OO'为梯形AA'C1C的中位线,则AA1+CC1=2OO';
同理可证:OO'为梯形BB1D1D的中位线,则BB1+DD1=2OO'.
所以,AA1+CC1=BB1+DD1.