已知函数f(x)=x3+(a+1)x2+ax-2,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在x轴上的截距为7/11. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)证明:当k<1时,曲线y=f(x)与y=(k-1)
题目
已知函数f(x)=x
3+(a+1)x
2+ax-2,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在x轴上的截距为
答案
(Ⅰ)函数f(x)=x
3+(a+1)x
2+ax-2的导数f′(x)=3x
2+2(a+1)x+a,
即有f′(1)=3a+5,切线斜率为3a+5,
f(1)=2a,切点为(1,2a),
则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-2a=(3a+5)(x-1).
令y=0则x=
,由
=
,解得a=2;
(Ⅱ)证明:由题意要证:当k<1时,曲线y=f(x)与y=(k-1)e
x+2x-2有唯一公共点,
即要证x
3+3x
2+(1-k)•e
x=0在k<1时有唯一解.
设g(x)=x
3+3x
2+(1-k)•e
x,
由于1-k>0,则g(x)>x
3+3x
2=x
2(x+3),
①当x≥-3时,g(x)>x
2(x+3)≥0,则g(x)在x≥-3时无零点;
②当x<-3时,g′(x)=3x
2+6x+(1-k)•e
x>3x
2+6x=3x(x+2)>0,
则g(x)在x<-3时单调递增.而g(-3)=(1-k)•e
-3>0,
由于e
x<e
-3,则(1-k)•e
x<(1-k)•e
-3,
g(x)=x
3+3x
2+(1-k)•e
x<x
3+3x
2+
<x
3+3x
2+1-k,
设h(x)=x
3+3x
2+1-k,由于k-1<0,取x=k-4<-3,
则h(x)=h(k-4)=(k-4)
3+3(k-4)
2+1-k,
即h(k-4)=(k-4)
2[(k-4)+3]+1-k=(k-1)[(k-4)
2-1]<0,
即存在x=k-4,使得g(x)<h(x)<0,
故存在x
0∈(k-4,-3),有g(x
0)=0,
综上,当k<1时,曲线y=f(x)与y=(k-1)e
x+2x-2有唯一公共点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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