已知定义域为R的函数f(x)=（-2^x+b）/(2^（x+1）+a）是奇函数.（1）求a,b的值、（2）求函数f（x）的值域、（3）若对任意的1≤t≤2,不等式f（t^2+5）+f（2（t^2）-2

题目

已知定义域为R的函数f(x)=（-2^x+b）/(2^（x+1）+a）是奇函数.（1）求a,b的值、（2）求函数f（x）的值域、（3）若对任意的1≤t≤2,不等式f（t^2+5）+f（2（t^2）-2kt）＜0恒成立,求k的取值范围

答案

（1）因为 f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f（1）= -f（-1）知a=2
（3）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ,易知f(x) 在 正负无穷上为减函数.又因 f(x)是奇函数,从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ,因f(x) 为减函数,由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t∈R 有：3t^2-2t-k>0 ,从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3