若不等式3x2+2x+2x2+x+1≥m对于任意的实数x均成立，求自然数m的值．

题目

若不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

≥m对于任意的实数x均成立，求自然数m的值．

答案

不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

≥m对于任意的实数x均成立，等价于（m-3）x²+（m-2）x+m-2≤0对于任意的实数x均成立．
m=3时，x+1≤0，∴x≤-1，不满足题意；
m≠3时，

m−3＜0 (m−2)2−4(m−3)(m−2)≤0

，∴m≤2，
∴自然数m的值为0，1，2．

不等式

3x2+2x+2

x2+x+1

≥m对于任意的实数x均成立，等价于（m-3）x²+（m-2）x+m-2≤0对于任意的实数x均成立，分类讨论，利用根的判别式即可求得m的取值范围．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查二次函数在R中的恒成立问题，可以通过判别式法予以解决，也可以分离参数m，分类讨论解决