定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy

题目

定义在（-1,1）上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy
⑴求证：函数f(x)是奇函数
⑵若当x∈(-1,0)是,有f(x)>0,求证：f(x)在(-1,1)上是减函数
(3)若f(1/5)=-1/2,试求f(1/2)-f(1/11)-f(1/19)的值注：关键是第三小题不会

答案

【解】
1、 首先,取x=y=0；则有：
f(0)+f(0)=f(0) 所以：f(0)=0;
取y=-x得到：
f(x)+f(-x)=f(0)=0;
所以：f(-x)=-f(x);
所以：为奇函数；
2、取x>y;由于f(x)为奇函数,所以：f(-y)=-f(y);
所以：
f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)
=f( (x-y)/(1-xy) )
=-f((y-x)/(1-xy) )
由于1>x>y>-1,所以：
(y-x)/(1-xy)0;
所以：
f(x)-f(y)=-f((y-x)/(1-xy) )