如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点 若点M在y轴上 且∠OMB+∠OAB=∠ACB 求AM的长

题目

如图,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x²+bx+c与x轴相交于点B(-2,0)和C,O为坐标原点 若点M在y轴上 且∠OMB+∠OAB=∠ACB 求AM的长

答案

 
 
将A（0,-4）、B（-2,0）代入抛物线y=1/2x^2+bx+c中,得：
 0+c=-4 
2-2b+c=0   ,
解得： b=-1 c=-4   
∴抛物线的解析式：y=1/2x^2-x-4．
令y=0,则,易得C点坐标为（4,0）
由A（0,-4）、C（4,0）得：OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形；
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB；
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得：AB2=AN•AM1；
易得：AB2=（-2）2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6；
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2．
综上,AM的长为6或2．