设X和Y是相互独立的随机变量,且服从区间(0,2)上的均匀分布,求Z=X/Y的概率密度

题目

设X和Y是相互独立的随机变量,且服从区间(0,2)上的均匀分布,求Z=X/Y的概率密度

答案

用分布函数法求解
f(x)=1/2,0f(y)=1/2,0f(x,y)=1/4,0F(z)=P(Z<=z)=P(X/Y<=z)
当z<0时,F(z)=0
当z>0时,F(z)=P(X/Y<=z)=P(Y>=X/z)
当0=X/z)=1/4*∫【0,2z】（2-x/z)dx=z/2
当z>1时,F(z)=P(Y>=X/z)=1/4*∫【0,2】（2-x/z)dx=1-1/(2z)
求导得
当0当z>1时,f(z)=1/(2z^2)
当z<0时,f(z)=0
解毕