在锐角三角形ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,证明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心

题目

在锐角三角形ABC中,AD,BE,CF分别为三边上的高,证明三角形ABC的垂心H是三角形DEF的内心

答案

∵∠AHE=∠BHD ,AC垂直于BE ,AD垂直于BC
∴∠CAD=∠EBC
∴sin∠CAD=sin∠EBC
∴CE/BC=CD/AC
∵在△CDE与△CAB中
∠ECD=∠BCA
∴△CDE∽△CAB
∴∠CDE=∠CAB
同理可得∠BDF=∠CAB
∴∠CDE=∠BDF
∴∠ADF=∠ADE
同理可得∠BEF=∠BED ,
∠CFD=∠CFE
∴AD,BE,CF是△DEF的三条角平分线
∴△ABC的垂心H是△DEF的内心