证明等式：[cos(3x)-sin(3x)]/(cosx+sinx)=1-2sin(2x).成立

题目

证明等式：[cos(3x)-sin(3x)]/(cosx+sinx)=1-2sin(2x).成立

答案

∵cos3x=cos(x+2x)=cosxcos2x-sinxsin2x
=cos³x-cosxsin²x-2sin²xcosx=cos³x-3sin²xcosx；
sin3x=sin(x+2x)=sinxcos2x+cosxsin2x
=sinxcos²x-sin³x+2sinxcos²x=3sinxcos²x-sin³x；
∴cos3x-sin3x=cos³x-3sin²xcosx-3sinxcos²x+sin³x
=(cos³x+sin³x)-3sinxcosx(sinx+cosx)
=(cosx+sinx)(cos²x-sinxcosx+sin²x)-3sinxcosx(cosx+sinx)
=(cosx+sinx)(1-sinxcosx-3sinxcosx)
=(cosx+sinx)(1-4sinxcosx)；
原式左端=1-4sinxcosx=1-2sin2x=右端.