函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(1/2)=2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;(3)解不等式f(t-1)+f(t)
题目
函数f(x)=
是定义在(-1,1)上的奇函数,且f(
)=2.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数;
(3)解不等式f(t-1)+f(t)<0.
答案
(1)由题意得,
解得,a=5,b=0.
∴f(x)=
.
(2)证明:任取x
1、x
2∈(-1,1),且x
1<x
2,则
f(x
1)-f(x
2)=
-=
,
∵-1<x
1<x
2<1,
∴(1+
)(1+
)>0;x
1-x
2<0;1-x
1•x
2>0;
∴f(x
1)-f(x
2)<0
∴f(x)在(-1,1)上是增函数.
(3)∵f(t-1)+f(t)<0,
∴f(t-1)<-f(t),
即f(t-1)<f(-t),
则
解得,0
<t<.
(1)奇函数有f(0)=0,(2)取值,作差,化简,判号,下结论五步;(3)利用函数的单调性解答.
函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明.
本题综合考查了函数的性质,包括了奇偶性,单调性的应用与证明,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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