数学问题:已知线段AB在平面α内,A,B两点到平面α的距离分别是1和3

题目

数学问题:已知线段AB在平面α内,A,B两点到平面α的距离分别是1和3
1,已知线段AB在平面α内,A,B两点到平面α的距离分别是1和3,则线段AB的中点到平面α的距离_______2或1__________
2,空间四边形ABCD中,AC与BD成30度角,AC=6,BD=4,E,F,G,H分别为四边形的四边的中点,则四边形
EFGH的面积等于________3___________
3,A,B两点在平面α的同侧,在平面α上的射影分别是A1,B1,已知AA1=4,BB1=1,A1B1=3√3,若p∈α,则PA-PB的最大值为____6_______
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答案

1
画过A,B两点的平面α的垂面β,则α在β上的投影为一直线.则可知有两种情况,分别为A,B在α的同侧和异侧.
同侧时,为 （1+3）/2=2；
异侧时,为 （3-1）/2=1.
2
作图可看出,EF平行且相等于（1/2）AC,GH也平行且相等于（1/2）AC,故E,F,G,H四点共面.而且,EH和FG皆平行且相等于（1/2）BD.因此,EF与EH之间同AC与BD一样,也30度角.E,F,G,H四点构成平行四边形.EF=（1/2）AC=3；EH=（1/2）BD=2；
则,根据正弦定理,S平行四边形EFGH=2·S△EFH=3×2×sin30°=3.
3
由三角形的三边关系可知,当P,A,B不共线时,PA-PB＜AB;
而当P,A,B共线时,PA-PB=AB,故当P,A,B共线时PA-PB最大;其值等于AB.
由基础立体几何知识可知,AB=√[A1B1^2 + (AA1 -BB1)^2]=√[(3√3)^2 +(4-1)^2]=6.
即:PA-PB的最大值为 6