画出函数y=2x+1的图象,并利用此图象判定方程2x+1=x+a有两个不同实数解时,实数a的取值范围.

画出函数y=2x+1的图象,并利用此图象判定方程2x+1=x+a有两个不同实数解时,实数a的取值范围.

题目
画出函数y=
2x+1
的图象,并利用此图象判定方程
2x+1
=x+a
有两个不同实数解时,实数a的取值范围.
答案
函数y=
2x+1
的图象如图所示
由图象可知方程
2x+1
=x+a
有两个不同实数解,显然a
1
2

令f(x)=
2x+1
,则f′(x)=
1
2x+1
=1,解x=0,即直线y=x+1,与曲线f(x)=
2x+1
在(0,1)点处相切,
∴a<1,
1
2
≤a<1
本题考查的是函数的图象及其应用问题.在解答时应先根据对应的基本初等函数通过变换获得函数的图象,然后有函数的图象即可直观的读出函数的单调性,以及当方程
2x+1
=x+a
有两个不同实数解时a的取值范围.

函数的零点与方程根的关系.

此题是中档题.本题考查的是函数的图象及其应用问题.在解答的过程当中充分体现了函数图象的变换以及数形结合的思想.值得同学们体会反思.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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