某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.

某几何体的一条棱长为7,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为6的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.

题目
某几何体的一条棱长为
7
,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为
6
的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,求a+b的最大值.
答案
如图,把已知几何体长为
7
的棱看做某一个长方体的对角线,设长方体的对角线A1C=
7
,则它的正视图的投影长为D1C=
6
,侧视图的投影长为B1C=a,俯视图投影长为A1C1=b
a2+b2+(
6
)2=2×(
7
)2
,即a2+b2=8.
∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2,∴
a+b
2
a2+b2
2
=2,当且仅当“a=b=2”时取等号.
∴a+b≤4,即a+b的最大值为4.
如图,把已知几何体长为
7
的棱看做某一个长方体的对角线,设长方体的对角线A1C=
7
,则它的正视图的投影长为D1C=
6
,侧视图的投影长为B1C=a,俯视图投影长为A1C=b,由长方体的对角线与三条面对角线的关系,即可得到a、b满足的关系式,进而利用基本不等式的性质即可求出答案.

简单空间图形的三视图.

把已知长为

7
的棱看做某一长方体的对角线是解决问题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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