求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围
题目
求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围
第一个a是底数,
1)∪(1,4】 】表示闭区间
答案
因为 函数f(x)=log(x+a/x-4) 的值域是 R,所以 函数 y=x+a/x-4(x≠0) 的值域必须“包含”有 (0,+∞),也就是说(0,+∞)包含在“y=x+a/x-4”的值域中就能满足题意,不一定恰好是(0,+∞).
设方程 x+a/x-4=k (k>0) 即 x^2 -(4+k)x + a=0 --------------------(1)
由原题意,对任意 k>0 ,关于“x”的二次方程(1) 都有解,
于是判别式 △=g(k)=(4+k)^2 - 4a=k^2 + 8k + 16 - 4a ≥0 ---------(2)
进一步,当 k>0 时,关于“k”的不等式(2)恒成立,所以
对关于“k”的二次函数 g(k)=k^2 + 8k + 16 - 4a ,有 g(0)=16 - 4a≥0 ,
[因为 g(k) 的对称轴是 k=-4,作图可知:欲使 当 k>0 时 (2)式恒成立,必须有 g(0)=16 - 4a≥0 ]
解得 a≤4,
又因为 a>0 且 a≠1,所以,a 的取值范围是 (0,1)∪(1,4] .
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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