点A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=根号3,若四面体ABCD体积的最大值为根号3,

题目

点A、B、C、D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=根号3,若四面体ABCD体积的最大值为根号3,
则这个球的表面积为
A .289π/16 B. 8π C3 D.4
求详解!谢谢!

答案

因为我球体画的不好,只能叙述了
AB=BC=AC=√3
∴四面体ABCD体积最大时,D在ABC的另一个半球内
正△ABC面积=3√3/4
∴高=4
∴D到面ABC距离=4
ABC所在面的圆心为O'
球心为O
∴O'A=O'B=O'C=2/3×√3×sin60°=1
设球的半径为R
勾股定理得
(4-R)²+1²=R²
解得R=17/8
∴表面积
=4πR²
选A