已知ABCD是矩形,PD垂直平面ABCD,PD=DC=a,AD=根号2 a,M,N分别是AD,PB中点,求点A到平面MNC的距离.向量

题目

已知ABCD是矩形,PD垂直平面ABCD,PD=DC=a,AD=根号2 a,M,N分别是AD,PB中点,求点A到平面MNC的距离.向量

答案

如图 
PD=DC=a,所以PC=a*根号2
PD⊥面ABCD,所以PD⊥BC,
所以BC⊥面PDC,
所以BC⊥PC,△PBC是等腰直角△；
N为PB中点,PB⊥CN；
△ DCM和△CBD为直角三角形,
DC/DM=根号2=BC/CD；
△ DCM相似于△CBD；
所以∠CDB=∠DMC,
所以∠CDB+∠DCO=90°=∠COD,
所以CO⊥OD；又CO⊥DP,
所以CO⊥面DPB；所以CO⊥PB
所以PB⊥面MNC
作直线AR‖CM交DB于R,
RQ‖ON交PB于Q；知面MNC‖ARQ；
A到平面MNC的距离就是
Q点到平面MNC的距离,
也即是QN的长度；
CN=BN=a； OD=BR=a/根号3； OR= a/根号3； 所以NQ=a/2
所以A到平面MNC的距离a/2