已知:抛物线y=x2-(m2+5)x+2m2+6. (1)求证:不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0); (2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间
题目
已知:抛物线y=x2-(m2+5)x+2m2+6.
(1)求证:不论m取何值,抛物线与x轴必有两个交点,并且有一个交点是A(2,0);
(2)设抛物线与x轴的另一个交点为B,AB的长为d,求d与m之间的函数关系式;
(3)设d=10,P(a,b)为抛物线上一点.
①当△ABP是直角三角形时,求b的值;
②当△ABP是锐角三角形、钝角三角形时,分别写出b的取值范围(第②题不要求写出解答过程).
答案
(1)令y=0,得x
2-(m
2+5)x+2m
2+6=0,
即(x-2)(x-m
2-3)=0,
解得:x
1=2,x
2=m
2+3,
∴一定有交点A(2,0),B(m
2+3,0)
∴结论得证;
(2)∵A(2,0),B(m
2+3,0)
∴d=AB=m
2+1;
(3)①d=AB=m
2+1=10,
∴y=x
2-14x+24,
∴A(2,0),B(12,0)
以AB为直径画圆,由图可知与抛物线有两个交点,
∴存在这样的点P,
设点P坐标为(x,x
2-14x+24),作P
1Q⊥横轴于Q,则点Q(x,0),
易得△AQP∽△PQB,
∴
=
,
∴PQ
2=AQ•BQ=(x-2)(12-x)=(x
2-14x+24)
2,
即(x-2)(12-x)=(x-2)
2(x-12)
2,(x-2)(x-12)≠0,
∴解得x=7±2
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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