克拉默法则说:"若线性方程组的系数行列式不等于零,那么方程组有唯一解."还有一个定理说:"如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则它没有非零解.(这就是说所有解都为零吧,我认为)"到底是唯一的非零解

题目

克拉默法则说:"若线性方程组的系数行列式不等于零,那么方程组有唯一解."还有一个定理说:"如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则它没有非零解.(这就是说所有解都为零吧,我认为)"到底是唯一的非零解,还是都是零解,这两者矛盾么?

答案

这两种说法并不矛盾.
“如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零,则它没有非零解”,就是说,它的解也是唯一的,这个“唯一的解”是零解.
比如 Ax＝b,若 b≠0,则为“非齐次线性方程组”,当│A│≠0 时,有唯一解(这个解不为零）；
若 b＝0,则 Ax＝b 是齐次线性方程组,当│A│≠0 时,有唯一解；而 A·0＝0,
所以这个解就是 x＝0.
总而言之,这两种说法是统一的,并不矛盾,后一种说法是前一种说法的特殊情况,这两种说法可以合为一种说法,那就是“若线性方程组 Ax＝b 的系数行列式│A│≠0,那么方程组有唯一当b≠0 时,这个解是非零解；当b＝0 时,这个解是零解”.