等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,公差为d,若S2,S3-S1,S5-S3成等比数列

题目

等差数列{an}中,a1=1,前n项和为Sn,公差为d,若S2,S3-S1,S5-S3成等比数列
数列{bn}满足bn=1/(an*an+1),Tn为{bn}的前n项和,(1)求an,Tn
(2)n属于N*,kTn

答案

(1)
an=1+(n-1)d
S2=a1+a2=2+d
S3-S1=a2+a3=2+3d
S5-S3=a4+a5=2+7d
(2+3d)^2=(2+d)(2+7d)
d=0 or 2
d=2时
bn=1/an*an+1=(1/an-1/an+1)/(an+1-an)=(1/an-1/an+1)/d
an=2n-1
b1=(1/a1-1/a2)/2
b2=(1/a2-1/a3)/2
...
bn=(1/an-1/an+1)/2
b1+b2+..bn=(1/a1-1/a2+1/a2-1/a3+...+1/an-1/an+1)/2
Tn=(1/a1-1/an+1)/2=(1-1/2n+1)/2=n/(2n+1)
d=0时
an=1
bn=1
Tn=n
(2)kTn=nk/(2n+1)